Разделить отрезок в отношении 2 5. Деление отрезка прямой линии в заданном отношении

Параллельные проекции имеют следующее свойство: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций.

Например, отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС/СВ = т/п (рис. 3.13). Построив горизонтальные проекции отрезка АВ и точки С, получают то же отношение А"С"/С" В" = т/п, так как проецирующие прямые^ ", В В" и СС" параллельны между собой. Это положение справедливо для всех плоскостей проекций, т.е.

Таким образом, отрезок прямой линии можно разделить в заданном отношении, разделив в том же отношении любую его проекцию.

Взаимное положение двух прямых линий

Прямые линии могут занимать относительно друг друга следующие положения: пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

Пересекающиеся прямые линии. У двух пересекающихся прямых на чертеже пересекаются одноименные проекции (рис. 3.14) и точки их пересечения лежат на одной и той же линии проекционной связи для каждой пары одноименных проекций.

Параллельные прямые линии. Если две прямые параллельны друг другу, то их одноименные проекции также параллельны. Для доказательства этого положения задают в пространстве две параллельные прямые АВ и С/) и строят пару их одноименных проекций, например горизонтальных (рис. 3.15, а).

Сначала через точки А и В, а также Си проводят проецирующие прямые, которые определят две плоскости проецирования аир. Эти плоскости параллельны между собой, так как каждая из них перпендикулярна ПЛОСКОСТИ 71^

Из элементарной геометрии известно, что две параллельные плоскости с любой третьей плоскостью (ль п 2 или 7Г 3) пересекаются по двум параллельным прямым. Следовательно, у параллельных прямых АВ и СЭ будут параллельны их одноименные проекции (рис. 3.15, б).

Скрещивающиеся прямые линии. Скрещивающимися прямыми называют прямые, не параллельные друг другу и не пересекающиеся (рис. 3.16). Одноименные проекции скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки пересечения их не лежат на общей линии проекционной связи. В тех случаях, когда две скрещивающиеся прямые расположены в параллельных плоскостях, одна пара их одноименных проекций будет параллельна между собой (рис. 3.17).

О видимости двух прямых линий. О ней судят с помощью конкурирующих точек, расположенных на разных прямых, но на одной и той же проецирующей прямой. Видимость для каждой плоскости проекций рассматривают раздельно.

Видимость двух скрещивающихся прямых АВ и СВ(см. рис. 3.16) определяют в точках пересечения их одноименных проекций. На плоскости П в точке пересечения горизонтальных проекций прямых расположены две совпадающие точки 1" = 2". Точка 1 принадлежит прямой СД точка 2 - прямой АВ. Точки 1 и 2 являются конкурирующими относительно плоскости проекций щ, т.е.

(7 X 2)К- Построив фронтальные проекции точек, получают > Ъъ Следовательно, на плоскости щ в месте скрещивания прямых будет видима прямая СД расположенная выше прямой А В, так как (7 е СВ) Т щ, а (2е АВ)
(3 ? 4) п 2 . Точка 3 принадлежит пря-

На пересечении фронтальных проекций прямых линий можно также отметить две совпадающие точки: 3" = 4", т.е. мой СД а точка 4 - прямой АВ. Они лежат на общей проецирующей прямой, перпендикулярной плоскости к 2 , следовательно, видимой будет та из них, которая удалена от плоскости к 2 на большее расстояние. Это точка 3, так как_у 3 > у 4 и (3 е СВ) Т к 2 ,(4е АВ) Т к 2 . Поэтому прямая СВ проходит перед прямой АВ.

Судить о взаимном положении двух прямых можно по двум проекциям, за исключением тех случаев, когда хотя бы одна из них параллельна какой-либо плоскости проекций, но задана проекциями на две другие плоскости проекций.

Профильные прямые АВ и СВ (рис. 3.18) заданы их горизонтальными и фон- тальными проекциями. Только построив профильные проекции, можно определить их взаимное положение. В данном случае они скрещиваются и располо-

жены в параллельных плоскостях проецирования так, что прямая СО расположена ближе к плоскости яз, чем А В.

Для выяснения взаимного положения прямых АВ и СИ (рис. 3.19) необходимо построить их профильные проекции. Но решение можно упростить, построив профильные проекции только прямой С/ и точки Е (Ее АВ), чтобы выяснить, лежит ли точка Е на прямой СД т.е. есть ли у прямых А В и СИ общая точка.

Еще проще решается задача, представленная на рис. 3.19, с использованием теоремы о делении отрезка в заданном отношении. Посмотрев на чертеж, можно убедиться в том, что точки Е" и Е " делят отрезки С "О" и С "О " в разных отношениях. Следовательно, точка Е не принадлежит прямой СО и прямые АВ и СО не пересекаются, а скрещиваются. А для определения их видимости необходимо построить профильную проекцию и выполнить построения, аналогичные показанным на рис. 3.16.

Пусть точки M 1 , M 2 , M 3 расположены на одной прямой. Говорят, что точка M делит отрезок M 1 M 2 в отношении λ(λ≠-1) , если .
Пусть известны координаты точек M 1 и M 2 относительно некоторой системы координат: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда координаты точки M(x, y, z) относительно этой же системы координат находятся по формулам:
Если точка M находится в середине отрезка M 1 M 2 , то , то есть λ=1 и формулы (*) примут вид:

(**)

Для решения используют следующие калькулятор:

Точки задаются двумя координатами : A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
Точки задаются тремя координатами : A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).

Пример №1 . Треугольник задан координатами своих вершин A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Найти координаты D(x, y, z) – точки пересечения его медиан.

Решение . Обозначим через M(x 0 , y 0 , z 0) середину BC, тогда по формулам (**)

и M(7/2, ½, 4). Точка D делит медиану AM в отношении λ=2 . Применяя формулы (*), находим
.

Пример №2 . Отрезок AB разделен точкой C(4,1) в отношении λ=1/4 , считая от точки A . Найти координаты A , если B(8,5).
Решение . Применяя формулы (*), получим:
, откуда находим x=3 , y=0 .

Пример №3 . Отрезок AB разделен на три равные части точками C(3, -1) и D(1,4). Найти координаты концов отрезка.
Решение . Обозначим A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Точка C – середина отрезка AD, следовательно, по формулам (**) находим: откуда x 1 = 5, y 1 = -6. Аналогично находятся координаты точки B: x 2 = -1, y 2 = 9.

Вычисление координат некоторой точки С, которая делит заданный отрезок АВ в определенном отношении, может быть выполнено по формулам:

хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),

где (хА; уА) и (хВ; уВ) – координаты концов заданного отрезка АВ; число λ = АС/СВ – отношение, в котором отрезок АВ делится точкой С, имеющей координаты (хС; уС).

Если отрезок АВ делится точкой С пополам, то число λ = 1 и формулы для хС и уС примут вид:

хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2.

Нужно иметь ввиду, что в задачах λ – это отношение длин отрезков, а поэтому числа, входящие в данное отношение не есть длины самих отрезков в заданной единице измерения. Например, АС = 12 см, СВ = 16 см: λ = АС/СВ = 12 см / 16 см = 3/4.

1. Поиск координат середины некоторого отрезка, по заданным координатам его концов

Пример 1.

Точки А(-2; 3) и В(6; -9) – концы отрезка АВ. Найти точку С, являющиеся серединой отрезка АВ.

Решение.

В условии задачи задано, что хА = -2; хВ = 6; уА = 3 и уВ = -9. Требуется найти С(хС; уС).

Применяя формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

хС = (-2 + 6)/2 = 2, уС = (3 + (-9))/2 = -3.

Таким образом, точка С, являющаяся серединой отрезка АВ, имеет координаты (-2; 3) (рис. 1).
2. Вычисление координат конца некоторого отрезка, зная координаты его середины и другого конца

Пример 2.

Одним концом отрезка АВ является точка А, с координатами (-3; -5), а его серединой точка С(3; -2). Вычислите координаты второго конца отрезка – точки В.

Решение.

По условию задачи становится ясно, что хА = -3; уА = -5; хС = 3 и уС = -2.

Подставив эти значения в формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

3 = (-3 + хВ)/2 и

2 = (-5 + уВ)/2.

Решив первое уравнение относительно хВ и второе относительно уВ, найдем: хВ = 9 и уВ = 1, получается, что нужная точка В будет задаваться координатами (9; 1) (рис. 2).

3. Вычисление координат вершин некоторого треугольника по заданным координатам середин его сторон

Пример 3.

Серединами сторон треугольника АВС являются точки D(1; 3), E(-1; -2) и F(4; -1). Найти координаты вершин А, В и С данного треугольника.

Решение.

Пусть точка D и есть середина стороны АВ, точка Е – середина ВС и точка F – середина сторона АС (рис. 3) . Необходимо найти точки А, В и С.

Обозначаем вершины треугольника через А(хА; уА), В(хВ; уВ) и С(хС; уС) и зная координаты точек D, Е и F, по формулам хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2 получим:

{1 = (хА + хВ)/2,
{-1 = (хВ + хС)/2,
{4 = (хА + хС)/2,

{3 = (уА + уВ)/2,
{-2 = (уВ + уС)/2,
{-1 = (уА + уС)/2.

Приведем уравнения к целому виду:

{хА + хВ = 2,
{хВ + хС = -2,
{хА + хС = 8,

{уА + уВ = 6,
{уВ + уС = -4,
{уА + уС = -2.

Решив системы, получим:
хА = 6; хВ = -4; хС = 2.
уА = 4; уВ = 2; уС = -6.

Точки А(6; 4), В(-4; 2) и С(2; -6) и есть необходимые вершины треугольника.

4. Вычисление координат точек, которые делят отрезок в определенном отношении, по заданным координатам концов этого отрезка

Пример 4.

Отрезок АВ поделен точкой С в отношении 3: 5 (считая от точки А к точке В). Концы отрезка АВ – точки А(2; 3) и В(10; 11). Найти точку С.

Решение.

В условии задачи сказано, что хА = 2; хВ = 10; уА = 3; уВ = 11; λ = АС/СВ = 3/5. Найти С(хС; уС) (рис. 4).

по формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (2 + 3/5 · 10) / (1 + 3/5) = 5 и уС = (3 + 3/5 · 11) / (1 + 3/5) = 6. Таким образом, имеем С(5; 6).

Выполним проверку: АС = 3√2, СВ = 5√2, λ = АС/СВ = 3√2/5√2 = 3/5.

Замечание. В условии задачи указано, что деление отрезка производится в заданном отношении от точки А к точке В. Если бы это не уточнялось, то задача имела бы два решения. Второе решение: деление отрезка от точки В к точке А.

Пример 5.

Некоторый отрезок АВ разделен в отношении 2: 3: 5 (считая от точки А к точке В), его концы – есть точки с координатами А(-11; 1) и В(9; 11). Найти точки деления данного отрезка.

Решение.

Обозначим точки деления отрезка от А к В через С и D. В условии задачи дано, что
хА = -11; хВ = 9; уА = 1; уВ = 11. Найти С(хС; уС) и D(хD; уD), если АС: СD: DB = 2: 3: 5.

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ = АС/СВ = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.

По формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (-11 + ¼ · 9) / (1 + 1/4) = -7 и уС = (1 + ¼ · 11) / (1 + 1/4) = 3.

Таким образом, С(-7; 3).

Точка D – есть середина отрезка АВ. Применив формулы хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2, найдем:

хD = (-11 + 9)/2 = -1, уD = (1 + 11)/2 = 6. Значит, D имеет координаты (-1; 6).

5. Вычисление координат точек, которые делят отрезок, если заданы координаты концов этого отрезка и число частей, на которые этот отрезок разделен

Пример 6.

Концы отрезка – точки А(-8; -5) и В(10; 4). Найти точки С и D, которые делят этот отрезок на три равные части.

Решение.

Из условия задачи известно, что хА = -8; хВ = 10; уА = -5; уВ = 4 и n = 3. Найдем С(хС; уС) и D(хD; уD) (рис. 5).

Найдем точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/2. Деление производим от точки А к точке В. По формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) имеем:

хС = (-8 + ½ · 10) / (1 + 1/2) = -2 и уС = (-5 + ½ · 4) / (1 + 1/2) = -2. Таким образом, С(-2; -2).

Деление отрезка СВ выполняется в отношении 1: 1, поэтому используем формулы

хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2:

хD = (-2 + 10)/2 = 4, уD = (-2 + 4)/2 = 1. Таким образом, D(4; 1).

Точки деления С(-2; -2) и D(4; 1).

Замечание: Точку D можно найти, производя деление отрезок АВ в отношении 2: 1. В таком случае надо будет снова применить формулы хD = (хА + λхВ) / (1 + λ), уD = (уА + λуВ) / (1 + λ).

Пример 7.

Точки А(5; -6) и В(-5; 9) – концами отрезка. Найти точки, которые поделят данный отрезок на пять равных частей.

Решение.

Пусть последовательные точки деления от А к В будут С(хС; уС), D(хD; уD), Е(хE; уE) и F(хF; уF). В условия задачи сказано, что хА = 5; хВ = -5; уА = -6; уВ = 9 и n = 5.

Найдем по формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/4:

хС = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 и уС = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, получаем, что точка С имеет координаты (3; -3).

Деление отрезка АВ точкой D производится в отношении 2: 3 (т.е. λ = 2/3), поэтому:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 и уD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, значит D(1; 0).

Найдем точку Е. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 2/3:

XЕ = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 и уЕ = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Таким образом, Е(-1; 3).

Точка F делит отрезок АВ в отношении λ = 4/1, поэтому:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 и уF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

Точки деления С(-2; -2); D(4; 1); Е(-1; 3) и F(-3; 6).

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на деление отрезка?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.